Número áureo
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,[1] razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción) representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional:[2]
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),[3] por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como “unidad” sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
EL NÚMERO ÁUREO FUE MUY IMPORTANTE EN LAS CONSTRUCCIONES DE NUESTROS ANTEPASADOS: PIRÁMIDES,TEMPLOS,CATEDRALES,ETC. PERO TAMBIÉN LO PODEMOS OBSERVAR EN LA NATURALEZA Y EN EL COSMOS.
EL NÚMERO ÁUREO FUE MUY IMPORTANTE EN LAS CONSTRUCCIONES DE NUESTROS ANTEPASADOS: PIRÁMIDES,TEMPLOS,CATEDRALES,ETC. PERO TAMBIÉN LO PODEMOS OBSERVAR EN LA NATURALEZA Y EN EL COSMOS.
EL NÚMERO DE ORO
Un número nada fácil de
imaginar que convive con la humanidad porque aparece en la naturaleza y desde la
época griega hasta nuestros días en el arte y el diseño. Es el llamado número de
oro (representado habitualmente con la letra griega
 ) o también sección áurea,
proporción áurea o razón áurea. | ||||||||||||||||||||||||||||
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Tres números con nombre
Hay tres números de gran
importancia en matemáticas y que "paradójicamente" nombramos con una letra.
Estos números son:
Los tres números tienen
infinitas cifras decimales y no son periódicos (sus cifras decimales no se
repiten periódicamente). A estos números se les llama irracionales. Cuándo se
utilizan se escriben solamente unas cuantas cifras decimales (en los tres
ejemplos de arriba hemos tomado 5).
Una diferencia importante
desde el punto de vista matemático entre los dos primeros y el número de oro es
que los primeros no son solución de ninguna ecuación polinómica (a estos números
se les llama trascendentes), mientras que el número de oro si que lo es.
Efectivamente, una de las soluciones de la ecuación de segundo grado
 es  que da como
resultado el número de oro.
La sección áurea y el número de oro
La sección áurea es la división
armónica de una segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento
menor es al segmento mayor, como este es a la totalidad. De esta manera se
establece una relación de tamaños con la misma proporcionalidad entre el todo
dividido en mayor y menor. Esta proporción o forma de seleccionar
proporcionalmente una línea se llama proporción áurea.
Tomemos un segmento de longitud
uno y hagamos en el la división indicada anteriormente
Aplicando la proporción áurea
obtenemos la siguiente ecuación que tendremos que resolver
Una de las soluciones de esta
ecuación (la solución positiva) es x=
 .
Lo sorprendente ahora es
calcular el valor que se obtiene al dividir el segmento mayor entre el
menor,
Es decir, la relación entre las dos partes en que dividimos
el segmento es el número de oro.
El rectángulo áureo
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto medio de uno de
sus lados. Lo unimos con uno de los vértices del lado opuesto y llevamos esa
distancia sobre el lado inicial, de esta manera obtenemos el lado mayor del
rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el
lado mayor del rectángulo vale
 por lo que la proporción entre
los dos lados es (nuestro número de oro).
Obtenemos así un rectángulo cuyos lados están en proporción
áurea. A partir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, como
veremos mas adelante, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides
egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco,
etc...).
Una propiedad importante de los triángulos áureos es que
cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal AB pasa por el
vértice C.
 En efecto, situemos los rectángulos en unos ejes de
coordenadas con origen en el punto A. Las coordenadas de los tres puntos serán
entonces:
Vamos a demostrar
que los vectores
 y  son proporcionales: Por lo tanto, los tres puntos están alineados. Pitágoras y el número de oro
Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y
matemático griego, nació en la isla de Samos.
 Fue
instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto,
Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a
exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C.
se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un
movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra
de sus discípulos.
Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en
muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el
silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en
las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la
inmortalidad y en la trasmigración del alma. Se dice que el propio
Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la
guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la
memoria de todas sus existencias previas.
Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas
por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y
de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los
números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número,
que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y
armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base
científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la
escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de
Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo
rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos
lados.
Una revuelta provocada en Crotona, por una asociación de
ideas contrarias a las pitagóricas, terminó con el incendio de la sede. Se cree
que Pitágoras se vio obligado a huir de Crotona y murió en Metaponto. La
persecución de los pitagóricos provocó el éxodo a la Grecia Continental, dando
lugar a la difusión de las ideas pitagóricas.
 La estrella pentagonal o
pentágono estrellado era, según la tradición, el símbolo de los seguidores de
Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según
un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La
casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el numero
de oro.  Por ejemplo, la relación entre
la diagonal del pentágono y su lado es el número de oro.  También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en
proporción áurea.
Ver la sección La trigonometría y el
número de oro.
La sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:
Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los
dos que le preceden. Por ejemplo, 21 = 13 + 8; el siguiente a 34 será 34 + 21 =
55.
Esta sucesión es la llamada "sucesión de
Fibonacci"*.
*Es el sobrenombre con el que se conoció
al rico comerciante Leonardo de Pisa (1170-1240). Viajó por el Norte de África y
Asia y trajo a Europa algunos de los conocimientos de la cultura árabe e hindú,
entre otros la ventaja del sistema de numeración arábigo (el que usamos) frente
al romano.
La sucesión de Fibonacci presenta diversas
regularidades numéricas. Para que resulte más sencillo las hemos enunciado en
casos particulares (aunque se cumplen en general) y hemos calculado los primeros catorce términos de esta sucesión:
¡Aún las hay más difíciles de imaginar!
1 : 1 = 1
2 : 1 = 2 3 : 2 = 1´5 5 : 3 = 1´66666666 8 : 5 = 1´6 13 : 8 = 1´625 21 :13 = 1´6153846.... 34 :21 = 1´6190476.... 55 :34 = 1´6176471.... 89 :55 = 1´6181818....
Al tomar más términos de la sucesión
y hacer su cociente nos acercamos al número de oro. Cuanto mayores son los
términos, los cocientes se acercan más a
=1,61803.... En lenguaje
matemático,
Efectivamente,
 El número de oro en el arte, el diseño y la naturaleza
El número áureo aparece, en las proporciones
que guardan edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo,
...
Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es
el alzado del Partenón griego.
En la figura se puede comprobar que
AB/CD=
. Hay
más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo:
AC/AD= y CD/CA=. Hay un
precedente a la cultura griega donde también apareció el número de oro. En La
Gran Pirámide de Keops, el cociente entre la altura de uno de los tres
triángulos que forman la pirámide y el lado es 2. Ya vimos que el
cociente entre la diagonal de un pentágono regular y el lado de dicho pentágono
es el número áureo. En un pentágono regular está basada la construcción de la
Tumba Rupestre de Mira en Asia Menor.  Ejemplos de rectángulos áureos
los podemos encontrar en las tarjetas de crédito, en nuestro carnet de identidad
y también en las cajetillas de tabaco.
Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron
antes los griegos y romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci.
Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción de Luca Pacioli
editado en 1509.
En dicho libro se describen cuales han de ser las
proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli
propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes
de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendo centro
en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura
del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los
extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y
formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura
del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano
(radio de la circunferencia) es el número áureo.
 El cuadro de Dalí Leda
atómica, pintado en 1949, sintetiza siglos de tradición matemática y
simbólica, especialmente pitagórica. Se trata de una filigrana basada en la
proporción áurea, pero elaborada de tal forma que no es evidente para el
espectador. En el boceto de 1947 se advierte la meticulosidad del análisis
geométrico realizado por Dalí basado en el pentagrama místico
pitagórico. En la naturaleza,
aparece la proporción áurea también en el crecimiento de las plantas, las piñas,
la distribución de las hojas en un tallo, dimensiones de insectos y pájaros y la
formación de caracolas.
La espiral logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el
cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el
rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el
rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir
indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que
convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la
atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral
equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o
espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el
ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus
encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en
su tumba.
La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos
gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y
animales (conchas de moluscos), aquellas en las que la forma se mantiene
invariante. El ejemplo más visualmente representativo es la concha del
nautilus.
|
= 3,14159....(Pi) que relaciona la longitud de la circunferencia con
su diámetro ( Longitud = 2.
.
En esta figura sólo
aparecen tres ángulos diferentes. Miden 36º, 72º y 108º. La relación entre estos
ángulos es la siguiente: 72 es el doble de 36 y 108 es el triple de 36. Hay
varios tipos diferentes de triángulos isósceles, de los cuales seleccionamos
tres: los triángulos ABE, ABF y AFG. El resto de triángulos son semejantes a
alguno de estos y no aportan información adicional. Finalmente, hay cuatro
segmentos diferentes en estos triángulos, que llamaremos: BE=a, AB=AE=b,
AF=BF=AG=c y GF=d. Las longitudes de estos segmentos cumplen:
a>b>c>d.
(el numero de
oro)
.
guardan unas
curiosas relaciones entre si. Efectivamente, podemos deducirlas a partir de la
ecuación 
. Si calculamos los primeros términos, podemos observar una
curiosa relación entre ellos. Calculando primero algunas potencias
. Elevando al cuadrado los dos miembros y pasando todos los
términos a la izquierda se obtiene la ecuación final 
. Una de las soluciones de esta ecuación es
nuestro número de oro 
. Quitando
denominadores y pasando todos los términos a la izquierda se obtiene la ecuación
cuya solución
positiva es el número de oro.
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